Một trong những trò chơi cổ điển nhất là ném xu. Nó đơn giản, dễ dàng và có thể được áp dụng cho nhiều mục đích khác nhau, từ quyết định cửa sổ cho một nhóm cho đến quyết định tỷ lệ cược trong các trò chơi cá cược. Nhưng có bao nhiêu khả năng bạn sẽ ném xu ra một mặt cụ thể? Đây là câu hỏi mà chúng ta sẽ khám phá trong bài viết này.
Một khái niệm cơ bản: Ném xu là một quả quân
Trong thống kê và các môn học liên quan, ném xu được coi là một quả quân hoàn hảo để tính toán khả năng và xác suất. Mỗi lần ném xu, có hai kết quả có thể: hoặc là mặt phẳng (H), hoặc là mặt lùm (T). Kết quả của mỗi lần ném xu là một biến ngẫu nhiên, có khả năng 0.5 cho mỗi kết quả.
Tính toán khả năng cơ bản
Để tính toán khả năng của một sự kiện xảy ra, chúng ta sử dụng công thức cơ bản:
$$ P(A) = \frac{\text{Số lượng phương án A}}{\text{Số lượng tất cả các phương án}} $$
Trong trường hợp ném xu, khả năng của mỗi mặt là:
- $ P(H) = 0.5 $ (khả năng ném xu ra mặt phẳng)
- $ P(T) = 0.5 $ (khả năng ném xu ra mặt lùm)
Khả năng của nhiều lần ném xu
Khi ném xu nhiều lần, khả năng của mỗi lần ném xu vẫn là 0.5, nhưng khả năng của một chuỗi của kết quả (ví dụ: HH, HT, TH, TT) sẽ khác. Để tính toán khả năng của một chuỗi kết quả, chúng ta sử dụng công thức của khối lượng:
$$ P(X_1X_2...X_n) = P(X_1) \times P(X_2) \times ... \times P(X_n) $$
Ví dụ 1: Ném xu 2 lần
- Khả năng ném xu ra HH: $ P(\text{HH}) = 0.5 \times 0.5 = 0.25 $ (25%)
- Khả năng ném xu ra HT hoặc TH: $ P(\text{HT}) = P(\text{TH}) = 0.5 \times 0.5 = 0.25 $ (25%)
- Khả năng ném xu ra TT: $ P(\text{TT}) = 0.5 \times 0.5 = 0.25 $ (25%)
Ví dụ 2: Ném xu 3 lần
- Khả năng ném xu ra HHH: $ P(\text{HHH}) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 $ (12.5%)
- Khả năng ném xu ra HHT, THH, HTH: $ P(\text{HHT}) = P(\text{THH}) = P(\text{HTH}) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 $ (12.5% cho mỗi trường hợp)
- Khả năng ném xu ra TTT: $ P(\text{TTT}) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 $ (12.5%)
Khả năng của một chuỗi dài và khả năng bất cứ điều gì xảy ra
Khi ném xu nhiều lần, khả năng của một chuỗi dài cụ thể sẽ giảm dần, nhưng khả năng của bất cứ điều gì xảy ra (bất kỳ chuỗi dài nào) sẽ là 1, vì có tối thiểu một kết quả nào đó sẽ xảy ra sau mỗi lần ném xu.
Ví dụ 3: Ném xu vô hạn lần
- Khả năng của bất cứ chuỗi dài nào xảy ra: $ P(\text{bất kỳ}) = 1$ (100%)
- Khả năng của bất cứ chuỗi dài cụ thể nào (ví dụ: HHH): $ P(\text{HHH}) = 0.125$ (12.5%)
- Nhưng tổng khả năng của tất cả các chuỗi dài là 1, vì bất cứ khi nào bạn ném xu, tối thiểu sẽ xảy ra một kết quả nào đó.
Khả năng của một chuỗi với điều kiện liên tiếp và không liên tiếp
Khi bạn có một chuỗi với điều kiện liên tiếp (ví dụ: HH) và không liên tiếp (ví dụ: HHT), khả năng sẽ khác nhau. Để tính toán khả năng của một chuỗi với điều kiện liên tiếp, bạn cần tính khả năng của mỗi phần tử liên tiếp sau nhau;而对于 không liên tiếp, bạn có thể sử dụng công thức của khối lượng cho từng phần tử rồi sum chúng up:
Ví dụ 4: Ném xu 4 lần với điều kiện liên tiếp và không liên tiếp
- Khả năng ném xu ra HHxx (x là bất kỳ): $ P(\text{HHxx}) = 0.5 \times 0.5 = 0.25 $ (25%) (điều kiện liên tiếp)
- Khả năng ném xu ra HxHx (x là bất kỳ): $ P(\text{HxHx}) = C_4^2 \times 0.5^2 \times 0.5^2 = 6 \times 0.25 \times 0.25 = 0.375 $ (37.5%) (không liên tiếp)
- Các trường hợp là HHTT, HTTH, THHT, TTHH với mỗi trường hợp có khả năng 0.0625 ($ C_4^2 \times 0.
